[코딩 테스트 연습(파이썬/Python)] 백준(BOJ) 2749번 & 11444번 _ 피보나치 수 3, 6

https://www.acmicpc.net/problem/2749

2749번: 피보나치 수 3

https://www.acmicpc.net/problem/11444

11444번: 피보나치 수 6

[문제]

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

[입력]

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

[출력]

(피보나치 수 3) 첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

(피보나치 수 6) 첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

[아이디어]

1) 저 어마어마한 n의 수를 보면, 일반적인 점화식을 활용한 dp로는 해결할 수 없다.

2) 도가뉴의 항등식을 활용한다.

이는 수학적 귀납법으로 간단히 증명할 수 있다.

3) 2)의 경우에 m=n일 때와 m=n-1일때로 나누어 접근한다.

4) 메모이제이션을 활용한다.

 

# 피보나치 수 3
import sys  
sys.setrecursionlimit(10**6)
d={0:0,1:1,2:1}
def f(n):
    if n in d:
        return d[n]
    else:
        if n%2==0:
            k = n//2
            d[n] = (f(k)*(2*f(k-1)+f(k))) % 1000000
            return d[n]
        else:
            k = (n+1)//2
            d[n] = (f(k)**2 + f(k-1)**2) % 1000000
            return d[n]
print(f(int(input())))

# 피보나치 수 6
import sys  
sys.setrecursionlimit(10**6)
d={0:0,1:1,2:1}
def f(n):
    if n in d:
        return d[n]
    else:
        if n%2==0:
            k = n//2
            d[n] = (f(k)*(2*f(k-1)+f(k))) % 1000000007
            return d[n]
        else:
            k = (n+1)//2
            d[n] = (f(k)**2 + f(k-1)**2) % 1000000007
            return d[n]
print(f(int(input())))

같은 맥락으로 해결할 수 있다. 재귀함수에서의 메모이제이션이 정말 별게 아니라는걸 처음 알게 됐다. 좀 더 재귀함수를 적극적으로 활용할 수 있을 것 같다.

 

또한 아래처럼 행렬 연산을 이용해 구현한 풀이도 있었다.

def f_pow(n):
    if n == 1:
        return [[1,1],[1,0]]
    else:
        t = f_pow(int(n//2))
        t2 = [[0,0],[0,0]]
        t2[0][0] = (t[0][0] * t[0][0] + t[0][1] * t[1][0]) % 1000000007
        t2[0][1] = (t[0][0] * t[0][1] + t[0][1] * t[1][1]) % 1000000007
        t2[1][0] = (t[1][0] * t[0][0] + t[1][1] * t[1][0]) % 1000000007
        t2[1][1] = (t[1][0] * t[0][1] + t[1][1] * t[1][1]) % 1000000007
        # 비트 연산을 이용해 짝홀 파악 후 홀수이면 추가 연산
        if n&1:
            t[0][0] = (t2[0][0] + t2[1][0]) % 1000000007
            t[0][1] = (t2[0][1] + t2[1][1]) % 1000000007
            t[1][0] = t2[0][0]
            t[1][1] = t2[0][1]
            return t
        return t2

n = int(input())

t = f_pow(n)
print(t[0][1])

비트연산자인 '&, |' 에 대해 다음에 공부해봐야겠다.

참고: https://www.acmicpc.net/blog/view/28

피보나치 수를 구하는 여러가지 방법